Teoria di Hodge

In matematica, la teoria di Hodge, che prende il nome da William Hodge, è un modo di studiare le forme differenziali su una varietà liscia ${\displaystyle M}$. In termini più specifici, cerca di comprendere le conseguenze sui gruppi di coomologia di ${\displaystyle M}$, a coefficienti reali, a seguito di una teoria di equazioni alle derivate parziali su operatori laplaciani generalizzati associata a una metrica riemanniana su ${\displaystyle M}$.

La teoria fu sviluppata da Hodge negli anni trenta come estensione della coomologia di de Rham, e trova applicazione soprattutto in tre campi:

• varietà riemanniane;
• varietà kähleriane;
• geometria algebrica delle varietà proiettive complesse, e, più genericamente, teoria dei motivi.

Inizialmente, si richiedeva che ${\displaystyle M}$ fosse una varietà senza bordo compatta. In tutti e tre i campi la teoria di Hodge si è dimostrata assai feconda, perfezionata e arricchita da Kunihiko Kodaira (sia in Giappone sia all'Institute for Advanced Study di Princeton, sotto l'influenza di Hermann Weyl) e da molti altri in seguito.